- λογάριθμος
- Μαθηματική έννοια σχετική με τον εκθέτη δυνάμεως. Αν β είναι ένας θετικός αριθμός και α επίσης θετικός αριθμός, διάφορος του 1, αποδεικνύεται ότι υπάρχει ένας (και μόνον ένας) πραγματικός αριθμός y, τέτοιος ώστε να ισχύει: αy = β. Αυτός ο y ονομάζεται λ. με βάση α του β και συμβολίζεται logαβ. Έτσι είναι: log10100 = 2 (επειδή 102 = 100), log100,1 = –1 (επειδή 10-1 = 0,1),
(επειδή 
) κλπ.
Ιδιαίτερα είναι logα1 = 0, επειδή για οποιαδήποτε βάση α α > 0, α ≠ 1) ισχύει: α0 = 1.
Αν 0 < β < 1, τότε ο λ. του ως προς τυχούσα βάση είναι αρνητικός, ενώ αν β > 1, τότε ο λ. του (ως προς τυχούσα, πάλι, βάση) είναι θετικός.
Με τη βοήθεια του προηγούμενου ορισμού ορίζεται μια συνάρτηση με τύπο της τιμής της logαx και πεδίο του ορισμού της το σύνολο των θετικών αριθμών R+. Η συνάρτηση αυτή είναι αύξουσα για α > 1 και φθίνουσα για 0 < α < 1. Ως βάσεις χρησιμοποιούνται: 1) ο 10 (δεκαδικοί ή κοινοί λ.) και 2) ο (υπερβατικός) αριθμός e = 2,71828... (φυσικοί ή νεπέρειοι λ.). Αν α > 0, τότε ο δεκαδικός του λ. συμβολίζεται με logα (παραλείπουμε τον δείκτη 10) και ο φυσικός του λ. με lnα.
Από τον ορισμό του λ. θετικού αριθμού και τις ιδιότητες των δυνάμεων προκύπτουν οι επόμενες ιδιότητες των λ.:
1. Για α > 0, β > 0 ισχύει: log(αβ) = logα + logβ.
2. Για α > 0, β > 0 ισχύει:
3. Για α > 0 ισχύει: logαβ = βlogα.
3’. Για α > 0 ισχύει: 
Στις παραπάνω διατυπώσεις ο λ. νοείται ως προς οποιαδήποτε βάση. Οι ιδιότητες των λ. επιτρέπουν τον ταχύ υπολογισμό αριθμητικών παραστάσεων με τη βοήθεια και των λογαριθμικών πινάκων. Συστηματική χρήση αυτής της υπολογιστικής μεθόδου άρχισε από τη δεύτερη δεκαετία του 18ου αι. με τα έργα των Τζον Νέπερ (νεπέρειοι λ.) και Χένρι Μπριγκς (δεκαδικοί λ.).
Παράδειγμα 1: θέλουμε να υπολογίσουμε τον αριθμό 
. Λογαριθμίζοντας και τα δύο μέλη έχουμε:
Από τους πίνακες βλέπουμε ότι είναι: log123,4 ≈ 2,09132, άρα 
Από τους ίδιους τους πίνακες βρίσκουμε ότι ο αριθμός x με λ. του τον 1,04566 είναι ο 11,1087 (περίπου).
Παράδειγμα 2: θέλουμε να υπολογίσουμε τον αριθμό 
: όπως και πριν έχουμε: 
.
Η συνέχεια της εργασίας βαίνει όπως στο παράδειγμα 1.
Πρέπει να σημειωθεί ότι οι υπολογισμοί γίνονται κατά προσέγγιση, η οποία όμως μπορεί να είναι όσο μεγάλη θέλουμε, αρκεί να χρησιμοποιούμε λογαριθμικούς πίνακες με πολλά δεκαδικά ψηφία. Οι συνηθέστεροι πίνακες είναι με πέντε δεκαδικά ψηφία. Πρέπει να σημειώσουμε ότι οι συμβολισμοί:
log(αβ),
, logαμ (μ ακέραιος) έχουν έννοια,
αν και μόνο αν είναι αβ > 0 (δηλαδή α, β ομόσημοι, άρα ίσως και αρνητικοί) και α < 0, είτε α > 0 στην περίπτωση μ = άρτιος. Γι’ αυτό ισχύουν:
1) αν αβ > 0, τότε log(αβ) = log|α| + log|β|
2) αν αβ > 0, τότε = log|α| - log|β|
3) αν α > 0 είτε α < 0 και ο μ άρτιος, τότε logαμ = μlog|α|. (Υποτίθεται ότι οι σημειούμενοι λ. αναφέρονται ως προς τυχούσα βάση, γι’ αυτό και δεν σημειώθηκε δείκτης στο σύμβολο log.)
Αλλαγή βάσης. Αν α, β είναι θετικοί αριθμοί με α ≠ β, διάφοροι του 1, και x ένας πραγματικός αριθμός, τότε υπάρχουν οι λ.: logαx, logβx. Αν θέσουμε y = logαx, z = logβx, τότε είναι: x = αy και x = βz, ώστε είναι αy = βz. Λογαριθμίζοντας ως προς τυχούσα βάση γ έχουμε: ylogγα = zlogγβ, δηλαδή:
Ειδικά αν γ = β, είναι: logγβ = logγγ = 1, επομένως:
Ή αλλιώς: 
Με τον τρόπο αυτό μπορούμε να αλλάζουμε τη βάση, δηλαδή: αν ξέρουμε τον λ. ενός αριθμού x ως προς κάποια βάση, να τον υπολογίζουμε ως προς μια οποιαδήποτε άλλη βάση.
Η έννοια του λ. επεκτείνεται και στο σύνολο των μιγαδικών αριθμών (μιγαδική συνάρτηση).
* * *ομαθ. ο εκθέτης ή η δύναμη στην οποία πρέπει να υψωθεί μια βάση για να προκύψει ένας δοσμένος αριθμός.[ΕΤΥΜΟΛ. Αντιδάνεια λ., πρβλ. γαλλ. logarithme < νεολατ. logarithmus < log- (< λογο-*) + -arithmus (< αριθμός). Τη λ. έπλασε ο Neper (1614). Η λ. μαρτυρείται από το 1783 στον Γ. Βεντότη].
Dictionary of Greek. 2013.
